参数调节
e((σ + iω)t + iφ) = eσt · [cos(ωt+φ) + i·sin(ωt+φ)]
实部 Re
0.42
虚部 Im
0.91
模 |z|
1.00
幅角 Arg(z)
1.14
阻尼 σ
0.00
角频率 ω
1.00
Canvas 动画
当前时间 t2.00
Re = eσtcos(ωt+φ)0.42
Im = eσtsin(ωt+φ)0.91
模 |z|1.00
幅角 Arg(z)1.14 rad
角速度 ω1.00 rad/s
原理讲解
欧拉公式
eiθ = cosθ + i·sinθ
一般形式
e((σ+iω)t) = eσt(cosωt + i·sinωt)
几何意义
复指数 = 复平面上的旋转矢量
模与幅角
|eiθ| = 1, arg(eiθ) = θ
应用场景
📶
信号处理
复指数是傅里叶变换的基函数，任何信号都可分解为复指数的叠加。通过频域分析，可以提取信号的频率成分，实现滤波、压缩和调制解调。
⚡
交流电路分析
用复指数表示正弦电压和电流，可将微分方程转化为代数方程，大幅简化阻抗计算。电容和电感的阻抗分别表示为 1/(iωC) 和 iωL。
🌪
振动与波动
机械振动、电磁波、声波都可以用复指数描述。波动方程的解本质上是复指数的线性组合，群速度和相速度的概念都源于复指数表示。
⚙
控制系统
系统特征方程的根为复指数形式，决定系统稳定性。根在左半平面表示衰减稳定，在右半平面表示增长不稳定，在虚轴上表示等幅振荡。