CHAPTER 1
速度猎人
The Velocity Hunter — Derivative as Speed
一辆赛车的位置函数 s(t) = t³ - 6t² + 9t + 1
拖动时间轴滑块，观察车的位置、切线和瞬时速度！
拖动时间轴滑块，观察车的位置、切线和瞬时速度！
位置曲线 & 切线
赛车动画
切线的斜率就是这一刻的速度！这就是导数的物理意义！
核心概念：导数 f'(x) = 函数在某一点的瞬时变化率。几何上 = 切线斜率；物理上 = 瞬时速度。
CHAPTER 2
超级英雄训练场
Super Hero Training Ground — Derivative Rules
基本求导公式
常数
(C)' = 0
威力：★☆☆☆☆
幂函数
(x&supn;)' = nx&supn⁻¹
威力：★★★☆☆
正弦
(sin x)' = cos x
威力：★★★☆☆
余弦
(cos x)' = -sin x
威力：★★★☆☆
指数
(e&supx;)' = e&supx;
威力：★★★★☆
自然对数
(ln x)' = 1/x
威力：★★★★☆
乘法法则
(uv)' = u'v + uv'
威力：★★★★★
除法法则
(u/v)'=(u'v-uv')/v²
威力：★★★★★
链式法则
[f(g(x))]'=f'(g)·g'
威力：★★★★★
求导英雄挑战
点击下方按钮开始挑战！
CHAPTER 3
函数侦探社
Function Detective Agency — Monotonicity & Extrema
用导数分析函数 f(x) = x³ - 3x + 2 的增减性和极值！
函数图像分析
导数 = 0 的点就是嫌疑犯！它可能是极大值，也可能是极小值！
侦探报告
CHAPTER 4
成本终结者
The Cost Terminator — Optimization
导数最强大的应用：找到"最优解"！让我们解决三个真实问题。
问题1：降价促销利润最大化
原价 P₀ 元/件，原销量 Q₀ 件/月。每降价 x 元，销量增加 kx 件。成本价 C 元/件。拖动滑块调整参数，观察利润曲线变化！
拖动「降价幅度 x」观察利润变化！当 L'(x)=0 时利润最大 — BOOM!
问题2：费马点 — 最短路径
拖动三角形的三个顶点 A、B、C，观察费马点位置和总距离的变化。当最大角 < 120° 时费马点在三角形内部（三线夹角各 120°），否则退化到钝角顶点。
直接拖拽 A、B、C 顶点！观察等角线如何随三角形形状变化。
问题3：无盖圆柱容器最大容积
用面积为 S 的铁皮制作一个无盖圆柱形容器，求最大容积。
1
建立函数
S = πr² + 2πrh → h = (S - πr²) / (2πr)
V = πr²h = r(S - πr²) / 2 = (Sr - πr³) / 2
2
求导
V'(r) = (S - 3πr²) / 2
3
令 V'(r) = 0
S - 3πr² = 0 → r = √(S / 3π)，此时 h = 2r/√3
4
结论
当 r = √(S/3π) 时，Vmax = S·√(S/3π) / 3，此时 h : r = 2 : √3
拖动滑块改变底面半径 r，观察铁皮面积如何分配给「底面」和「侧面」，以及容器容积 V 的变化！
CHAPTER 5
面积征服者
Area Conqueror — Definite Integrals
定积分的几何意义：把曲线下的面积切成无数小矩形，然后求和！
黎曼和可视化
函数 f(x) = 0.5x² + 1，区间 [0, 4]，调整分割数 n 观察逼近过程：
10
黎曼和 ≈ — | 精确积分 = —
定积分真实应用
航天：变力做功
W = ∫ GMm/r² dr
克服引力做功
水利：水坝压力
P = ∫ ρgx dA
深度越大压力越大
医学：药物吸收
AUC = ∫ C(t) dt
药物总吸收量
CHAPTER 6
导数英雄榜
Derivative Hall of Fame — Real World Cases
导数和积分无处不在！这里是 18 个真实应用案例，展示微积分的终极威力！
INTERACTIVE DEMOS
案例1：弹簧变力做功 W = ∫₀ˣ F(s)ds
胡克定律 F(x) = kx，弹簧从自然长度被拉长到 x 时，外力做功 W = ∫₀ˣ ks ds = ½kx²。拖动滑块看弹簧拉伸和功的累积！
案例2：水坝总压力 F = ∫₀ᴴ ρgh·L(h)dh
水的压强随深度线性增大 P = ρgh。大坝不同深度处压力不同，需要用定积分累加。拖动滑块调整水深和坝宽！
案例3：药物吸收量 AUC = ∫₀ᵀ C(t)dt
口服药物后，血药浓度 C(t) 先升后降。AUC（曲线下面积）代表药物总暴露量，是药代动力学的核心指标。拖动滑块观察浓度变化和累积药量！
物理 / 工程
物理
运动学速度与加速度
位置函数 s(t) 的一阶导数为速度 v(t)=s'(t)，二阶导数为加速度 a(t)=v'(t)。GPS导航、自动驾驶都依赖它。
工程
RLC电路瞬态分析
电路中电流 i(t) 和电压 v(t) 由微分方程 L·di/dt + Ri + q/C = E(t) 描述，导数决定电路的振荡与衰减。
物理
热传导与温度梯度
傅里叶热传导定律：热流密度 q = -k·dT/dx，温度的导数（梯度）决定了热量流动的方向和速率。
经济 / 金融
经济
边际成本与边际收益
边际成本 MC = C'(q) 表示多生产一单位产品的成本增量。当 MR = MC 时利润最大化，这是微观经济学的核心。
金融
需求价格弹性
弹性系数 E = (dQ/dP)·(P/Q)，用导数衡量价格变动对需求量的影响程度，指导定价策略。
金融
期权定价与希腊值
Black-Scholes模型中，Delta = dV/dS（标的价格敏感度）、Gamma = d²V/dS²，都是导数的应用。
医学 / 生物
医学
药物浓度变化率
血药浓度 C(t) 的导数 dC/dt 描述药物在体内的吸收/消除速率，药代动力学建模的核心。
生物
种群增长 Logistic 模型
dP/dt = rP(1 - P/K)，导数描述种群增长率随密度的变化，预测生态系统的承载极限。
医学
SIR 传染病模型
dS/dt、dI/dt、dR/dt 三个微分方程描述易感、感染、康复人群的动态变化，指导防疫政策。
计算机 / AI
AI
梯度下降训练
损失函数 L(θ) 的梯度 ∇L 是各参数偏导数的向量，沿梯度反方向更新参数，使损失最小化。
AI
神经网络反向传播
利用链式法则逐层计算损失函数对每层权重的偏导数，从输出层向输入层反向传播误差信号。
CS
自动微分系统
PyTorch、TensorFlow 等框架的核心：自动计算任意复杂函数的梯度，链式法则的程序化实现。
工程应用
工程
变力做功计算
W = ∫ F(x)dx，当力随位置变化时（如弹簧弹力 F=kx、引力 F=GMm/r²），需要积分求总功。
水利
水压力与水坝设计
压强随深度线性增长 P=ρgh，总压力需积分 F=∫ρgh·L dh，工程师据此设计大坝结构。
工程
旋转体体积计算
V = π∫[f(x)]² dx（圆盘法），或 V = 2π∫x·f(x)dx（壳法），用于制造零件、容器设计。
优化问题
优化
利润最大化
建立利润函数 π(x)，令 π'(x)=0 求驻点，判断极值类型，找到使利润最大的最优产量或定价。
优化
成本最小化
建立成本函数 C(x)，求 C'(x)=0 找最小成本点。如：用料最少、能耗最低、运输费用最省。
优化
最短路径与费马点
在三角形内找一点使到三顶点距离之和最小（费马点），或光沿最短时间路径传播（折射定律）。