皮 克 定 理

数一数格子点，就能算出多边形面积 —— 1899年，奥地利数学家 Georg Pick 发现的神奇公式

面积 S = 内部点 I + 边界点 B ÷ 2 − 1

第一部分动画演示：数一数，面积就出来了

下面是一个格点多边形（顶点都落在方格交叉点上）。点击「播放动画」，我们会逐个找到图形内部的格点 I 和边界上的格点 B，再用皮克定理算出面积，最后用鞋带公式（精确算法）验证——看结果是不是一模一样！

内部格点 I（数 1 个算 1） 边界格点 B（每个只算半个） 顶点
0
内部点 I
0
边界点 B
?
皮克定理面积 S
?
鞋带公式真实面积
点击「播放动画」，看看会发生什么……
💡 皮克定理有什么用？

① 口算面积：不需要底×高、不用三角函数，会数数就能算任意格点多边形面积；
② 反查图形：知道面积和边界点数，就能推断内部有几个点（地质、晶体学常用）；
③ 证明利器：可以证明「格点正三角形不存在」等有趣结论；
④ 它还是连接离散数学（数点）与连续几何（面积）的桥梁，是 Ehrhart 多项式理论的起点。

第二部分为什么皮克定理是对的？欧拉公式来揭秘

欧拉公式说：把平面图形剖分成三角形后，顶点数 V − 边数 E + 面数 F = 1（不算外面无限大的那个面）。点击「逐步剖分」，看一个多边形怎样被切成全是小三角形的网。

5
顶点数 V
5
边数 E
0
三角形面数 F
0
V − E + F
未剖分时：V − E + F = 5 − 5 + 0 = 0。开始剖分后注意看它的变化！
  1. 第一步：全部切成三角形。任何格点多边形都可以剖分成若干本原三角形——即内部和边上（除顶点外）都不含其它格点的小三角形。右边动画正在做这件事。
  2. 第二步：每个本原三角形面积都是 ½。这是格点几何的基本事实：顶点在格点上且不含其它格点的三角形，面积恰好是 0.5（可用「外接矩形减三块」的办法验证）。
  3. 第三步：用欧拉公式数三角形个数。剖分图里：顶点 V = I + B；每个内部点周围 360°，每个非顶点的边界点处是 180°，多边形顶点处角度之和 = (B'−2)×180°。把所有三角形内角加总：F × 180° = I×360° + (B−n)×180° + (n−2)×180°，整理得 F = 2I + B − 2。（其中 n 是多边形顶点数）
  4. 第四步：欧拉公式验证。剖分满足 V − E + F = 1，代入数一数边：3F = 2E − B（每条内部边被 2 个三角形共享，边界边只属于 1 个），结合 V = I + B，同样推出 F = 2I + B − 2，两种方法互相印证 ✅
  5. 第五步：面积求和。总面积 S = 三角形个数 × 每个面积 = (2I + B − 2) × ½ = I + B/2 − 1。皮克定理得证！∎

第三部分实际生活中的运用

皮克定理最喜欢「排列整齐、一格一格」的场景——果园、瓷砖、城市规划都是它的舞台。试着先自己做，再点「看解答」。

🌳 应用题一：果农数树

王大伯的果园是一块格点四边形土地，果树按 5 米 × 5 米的方格间距栽种（每个格点一棵树）。他用无人机航拍后数出：果园内部有 37 个格点，边界围栏上有 18 个格点。
问：① 果园占地多少平方米？② 一共种了多少棵果树？

解：皮克定理中的「1 个单位面积」= 5×5 = 25 平方米。
① 单位格数 S = I + B/2 − 1 = 37 + 18/2 − 1 = 45 格，面积 = 45 × 25 = 1125 平方米。
② 果树种在所有格点上：I + B = 37 + 18 = 55 棵。
💡 现实中林业、农业遥感估算就是这么干的：把地块轮廓画在方格网/卫星网格上，数点比拉皮尺快得多。

🏠 应用题二：铺地砖要多少钱

小新家要装修一间异形活动室，设计师把户型画在方格纸上，每格代表一块 60cm × 60cm 的地砖。数出户型范围内：内部格点 52 个，边缘格点 24 个。每块地砖 35 元，切割损耗按 5% 多备。
问：大约需要多少块地砖？预算多少元？

解：房间面积（以「一块砖」为单位）：S = I + B/2 − 1 = 52 + 24/2 − 1 = 63 块砖的面积。
加损耗：63 × 1.05 ≈ 66.2，向上取整备 67 块。
预算：67 × 35 = 2345 元。
💡 凡是「异形区域 + 规则网格」的估算问题——地毯、地板、芯片晶圆上能切几颗合格芯片（良率估算）——都可以用皮克定理先快速估个数。