等式性质与不等式性质
等式的基本性质
性质 1
等式两边同时加/减同一个数或式子，等式仍成立。
若 a = b，则 a + c = b + c
性质 2
等式两边同时乘/除同一个非零数，等式仍成立。
若 a = b 且 c ≠ 0，则 ac = bc
性质 3
等式具有对称性和传递性。
a = b ↔ b = a；a = b 且 b = c ⇒ a = c
3 = 3
✓ 等式成立
不等式的基本性质
性质 1
两边同加/减同一个数，不等号方向不变。
a > b ⇒ a + c > b + c
性质 2
两边同乘正数方向不变；同乘负数方向反转。
c > 0: ac > bc；c < 0: ac < bc
性质 3
同向不等式可加。
a > b, c > d ⇒ a + c > b + d
性质 4
传递性。
a > b, b > c ⇒ a > c
x > 3
当前不等式：x > 3
基本不等式
基本不等式（均值不等式）
a² + b² ≥ 2ab（当且仅当 a = b 时取等号）
变式：a + b ≥ 2√ab（a, b > 0）
基本不等式的几何意义
a² + b² ≥ 2ab — 面积对比
二次函数 y = ax² + bx + c
二次函数的图像探索
y = 1.0x² + 0.0x + 0.0
开口方向
向上
对称轴
x = 0.00
顶点坐标
(0.00, 0.00)
Δ = b²-4ac
0.00
x轴交点
1 个
参数对图像的影响
平移与对称
y = (x - 0.0)² + 0.0
一元二次方程的求解
x = (-b ± √(b²-4ac)) / 2a
Δ
4.00
x₁
1.00
x₂
-1.00
x₁+x₂=-b/a
0.00 = 0.00
x₁·x₂=c/a
-1.00 = -1.00
一元二次不等式
x² - 1 > 0
Δ
4.00
不等号
>
解集
x < -1 ∪ x > 1
高次不等式与穿根法
穿根法（数轴标根法）
对于可分解为一次因式乘积的高次不等式 f(x) = (x−x₁)(x−x₂)…(x−xₙ) > 0，将各根标在数轴上，从右上角开始"穿线"：遇到奇数重根穿过去，偶数重根弹回来。曲线在数轴上方则为正（>0），下方则为负（<0）。
不等号：
(x+1)(x−1)(x−2) > 0
根
x = -1, 1, 2
重数
1, 1, 1
解集
x < -1 ∪ 1 < x < 2
分式不等式
分式不等式的解法
分式不等式 f(x)/g(x) > 0 的核心思路：分子分母同号时为正，异号时为负。等价于转化为 f(x)·g(x) > 0 且 g(x) ≠ 0。因此分母的零点始终不在定义域内（用空心圆表示）。
不等号：
(x−1)/(x+2) > 0
分子零点
x = 1.0
分母零点(排除)
x = -2.0
定义域
x ≠ -2
解集
x < -2 ∪ x > 1